쉬운 복소수 (1) 허수 i, 없는 수를 만든 사건

제곱해서 −1이 되는 수? 그런 거 없다고 배웠지. 실제로 우리가 아는 수 중엔 없어. 그 말, 틀린 거 아니야. 근데 사람들이 결국 그런 수를 하나 만들어버렸어. 없으면 규칙을 정해서 새로 만든 거지. 그게 오늘 얘기할 허수 i야.

황당하지? 없다던 걸 만들었다니. 근데 겁먹진 마. 이게 왜 필요했는지 그 사연은 쏙 빼놓고 i² = −1부터 외우라고 들이미니까 황당한 거야. 순서가 잘못됐던 거지. 그러니 사연부터 차근차근 밟자. 외울 건 없고, 붙잡을 문장은 이거 하나면 된다.

i는 제곱하면 −1이 되는, 우리가 새로 정한 수다. i² = −1.

이게 전부다. 오늘은 이거 하나만 손에 쥐면 된다. 왜 이런 걸 새로 만들었는지, 그게 어떻게 말이 되는지만 천천히 같이 밟아보자.

제곱해서 음수가 되는 수는 없다더니

먼저 학교에서 배운 것부터. 어떤 수든 제곱하면 0이거나 양수야. 양수를 제곱해도 양수(2 곱하기 2는 4), 음수를 제곱해도 양수(−2 곱하기 −2도 4), 0은 0. 그러니 제곱해서 −1이 되는 수는? 없어. 맞아, 우리가 아는 수 중엔 없다. 이거 틀린 말 아니야. 그래서 제곱해서 음수가 되는 식을 보면 다들 답 없음, 하고 덮었지. 수백 년 동안 사람들도 딱 그랬어. 그림으로 보면 이렇다. 실수는 이 수직선을 빈틈없이 채우지만, 제곱해서 −1이 되는 수의 자리는 그 줄 위 어디에도 없어서 선 밖 위에 놓인다.

그런데 약 500년 전, 이탈리아 수학자들이 덮어둘 수 없는 데서 딱 마주쳤어. 그게 어디였냐면, 2차방정식이 아니라 3차방정식이야. 세제곱이 들어간 식 말이야.

동생: “그냥 답 없다 하고 넘기면 되잖아. 왜 굳이?”

누나: “그게, 넘길 수가 없었어. 답이 멀쩡한 진짜 수인데, 그 답을 구하는 길 한복판에서 제곱해서 음수 되는 수를 반드시 밟고 지나가야 했거든.”

답으로 가는 길목에 그 수가 있었다

이게 이 이야기의 핵심이야. 천천히 가자. 그 무렵 수학자들은 3차방정식을 푸는 공식을 하나 알아냈어. 세제곱이 들어간 식도 이 공식에 넣고 돌리면 답이 나오는, 꽤 대단한 거였지. 그런데 이상한 일이 벌어졌어. 분명히 답이 3, 이런 멀쩡한 정수인 식을 공식에 넣었는데, 계산 중간에 제곱해서 −1이 되는 수, 곧 없다던 그 수가 툭 튀어나온 거야.

없는 수라며. 그럼 계산을 멈춰야 하나? 그런데 그 없는 수를 없다고 버리지 않고, 일단 있는 셈 치고 계산을 끝까지 밀고 가 봤더니, 중간에 껄끄럽던 그 수들이 서로 상쇄돼 사라지고, 마지막엔 3 같은 진짜 답이 딱 나오더라는 거야. 이게 얼마나 희한한 상황인지 느껴져? 없다고 하면 답을 못 구하고, 있다고 치면 멀쩡한 답이 나와. 여기서 사람들이 오래 고민했다. 이걸 대체 뭐라고 봐야 하나.

약 500년 전 카르다노라는 수학자가 이런 수를 진지하게 글에 적은 사람으로 자주 꼽혀. 10을 두 조각으로 나누는데 두 조각을 곱하면 40이 되게 하라, 이런 문제를 풀다가 5 더하기 루트 마이너스 15, 5 빼기 루트 마이너스 15 같은 답에 닿았지. 근데 카르다노 본인도 이걸 영 못 미더워했어. 쓸모없고 머리만 아픈 셈이라는 식으로 시큰둥하게 적어뒀거든. 그러다 조금 뒤 봄벨리라는 수학자가, 이 수들도 더하고 곱하는 규칙을 딱 정해놓고 얌전히 계산하면 아무 모순 없이 잘 굴러가고, 심지어 3차방정식의 진짜 답까지 정확히 내놓는다는 걸 차근차근 보여줬어. 없다고 밀어내지 말고, 규칙을 정해서 하나의 수로 대접하자. 이 태도가 시작이었다.

없으면? 하나 만들면 되지

자, 그래서 발상을 이렇게 뒤집는 거야. 제곱해서 −1이 되는 수가 기존 수 중엔 없다? 그럼 없다고 울지 말고, 하나 새로 만들어서 이름 붙이면 되잖아. 그 새 수한테 붙인 이름이 i야. 딱 하나만 약속하고 출발해. i를 제곱하면 −1이다. i² = −1. 이 약속 하나가 i의 전부다.

여기서 많이들 이래도 되는 거야? 하고 걸려. 그냥 없는 걸 있다고 우기는 거 아니냐고. 아니야. 잘 봐. 수학에서 새 수를 들이는 건 늘 이런 식이었어. 음수를 떠올려 봐. 옛날 사람들한테 사과 −3개, 이런 말은 헛소리였어. 3보다 작은 건 0까지고 그 아래는 없다고 봤으니까. 근데 빚이 3만 원이야, 영하 3도야, 이런 걸 다루려니 0보다 작은 수가 필요했고, 규칙(부호 붙이는 법, 더하고 곱하는 법)을 정해서 하나 만들어 썼더니 아무 문제 없이 잘 굴러갔지. 지금은 아무도 음수를 가짜라고 안 하잖아. 아래 그림을 봐. 오른쪽 0, 1, 2 …만 수이던 시절, 그 줄을 0 왼쪽으로 늘여 규칙을 정해 음수를 새로 놓은 것이다.

i도 똑같아. 규칙을 정하고, 그 규칙대로 계산했을 때 모순이 안 생기면, 그건 어엿한 수야. 그게 수학이 수를 대하는 방식이야. 있다 없다를 눈으로 확인하는 게 아니라, 모순 없이 다룰 수 있으면 수로 인정하는 거지. 그러니 i를 만든 건 우기는 게 아니라, 음수를 만들던 그 방식 그대로 한 걸음 더 간 것뿐이다. 외우지 마, 없으면 만든다, 대신 규칙은 지킨다. 이 태도만 남기면 돼.

한번 계산도 해보자. i² = −1이라는 약속 하나만 있으면 나머지는 저절로 따라 나와. i를 세 번 곱하면? i³ = i² 곱하기 i = −1 곱하기 i = −i야. 네 번 곱하면? i⁴ = i² 곱하기 i² = (−1) 곱하기 (−1) = 1, 다시 1로 돌아왔어. 봐, 약속 하나로 이렇게 술술 풀리지? 이 네 번 곱하면 제자리, 이게 나중에 아주 예쁜 그림이 되는데 그건 3편 몫으로 남겨둘게.

이름 풀이: 허수, 실수, 그리고 상상의 수

이제 이름을 풀자. 이름만 알아도 절반은 친해진다. 허수(虛數)의 허(虛)는 빌 허, 헛될 허야. 곧 비어 있는 수, 헛것 같은 수라는 뜻이지. 왜 이렇게 서운한 이름이 붙었냐면, 이 수를 처음 만난 사람들 눈엔 정말 없는 것, 실체 없는 것처럼 보였기 때문이야.

서양 이름은 더 노골적이야. 영어로 허수를 imaginary number, 곧 상상의 수라고 불러. 약 400년 전 데카르트라는 수학자가 이 말을 붙였는데, 칭찬이 아니라 상상 속에나 있는 가짜 수라는 폄하에 가까웠어. 실제로 있는 게 아니라 머릿속으로 지어낸 것뿐이다, 이런 뉘앙스였지. i라는 기호 자체도 이 상상의 수의 첫 글자에서 따온 거고, 훗날 오일러라는 수학자가 이 기호를 정해 널리 퍼뜨렸어. 그러니 네가 허수라는 말에 이건 진짜 수가 아닌가 봐 하고 주춤했다면, 그건 이름을 붙인 사람부터가 그렇게 얕봤기 때문이야. 네 감각이 이상한 게 아니라고.

짝이 되는 이름도 보자. 우리가 원래 쓰던 보통 수들, 그러니까 수직선 위에 다 놓이는 수들은 실수(實數)라고 불러. 실(實)은 열매 실, 참 실이야. 알맹이가 꽉 찬 참된 수라는 뜻이지. 허수라는 상대가 생기고 나서야, 원래 있던 수들한테 참되다는 뜻의 실수라는 이름이 새로 붙은 거야. 텅 빈 허수와 꽉 찬 실수, 이렇게 짝을 이룬다. 참고로 이런 한자어들은 근대에 서양 수학이 일본을 거쳐 들어오면서 옮긴 번역어야. 이름이 어렵게 느껴지는 건 네 탓이 아니라 번역을 거친 말이라 그래.

이제 그림으로 정리하자. 실수는 수직선 위에 하나도 빠짐없이 다 놓여. 0을 가운데 두고 오른쪽으로 1, 2, 왼쪽으로 −1, −2. 그런데 i는? 이 선 위 어디에도 없어. 제곱해서 음수가 되는 수는 이 직선 위엔 없으니까. 그래서 i는 선을 벗어나 위로 툭 튀어나온다.

예시 문제

약속 하나 익혔으니 직접 굴려보자. i² = −1, 이거 하나면 i를 몇 번 곱하든 다 나와. 겁먹지 말고 두 개만 풀어보자.

문제 1. i를 일곱 번 곱하면, 곧 i⁷은 얼마일까?

본문에서 i³, i⁴까지 해봤지? 그 방식 그대로야. 직접 해보고 내려와. 풀이 간다.

풀이. 통째로 일곱 번 곱하지 말고, 아는 조각으로 쪼개자. i⁷은 i⁴ 곱하기 i³이야. i⁴은 아까 봤듯이 1이었지. i³은 −i였고. 그러니 i⁷ = 1 곱하기 (−i) = −i야. 한 번 더 다르게 봐도 돼. i는 네 번 곱하면 제자리(i⁴ = 1)로 오니까, 곱셈이 네 개마다 똑같이 반복돼. i, −1, −i, 1, 그리고 다시 i, −1, −i… 이렇게. 그러니 앞에서부터 세면 i(1번), −1(2번), −i(3번), 1(4번), i(5번), −1(6번), −i(7번). 일곱 번째가 −i지? 두 길로 왔는데 답이 같아. i⁷ = −i다. 봐, 약속 하나로 일곱 제곱도 손으로 나오잖아.

문제 2. 그럼 i를 2026번 곱하면? i²⁰²⁶ 말이야. 설마 2026번을 다 곱할 거야? 그건 아니지.

방금 발견한 반복, 그거 쓰면 돼. 풀이 간다.

풀이. 핵심은 i가 네 번마다 제자리로 온다는 거야. i, −1, −i, 1이 계속 되풀이되지. 그러니 2026번 중에 네 번씩 짝지어 덜어내면, 그 짝들은 전부 1이 돼서(i⁴ = 1) 사라져. 남는 건 나머지 몇 번뿐이야. 2026을 4로 나눠보자. 2026 나누기 4는 506이고 나머지가 2야. 4 곱하기 506은 2024, 거기서 2 남지. 그러니까 네 번씩 506묶음은 다 1로 사라지고, 남은 건 딱 2번 곱한 것, 곧 i²이야. i²은 −1이지. 그러니 i²⁰²⁶ = −1이다. 봐, 2026번을 다 안 곱해도 나머지만 보면 바로 나와. 이게 네 번이면 제자리라는 성질의 힘이야.

정리

오늘 딱 하나만. i는 제곱하면 −1이 되는, 우리가 새로 정한 수다. i² = −1. 제곱해서 음수 되는 수는 없다고 배웠지만, 3차방정식의 진짜 답으로 가는 길목에서 그 수를 반드시 밟아야 했고, 그래서 없다고 버리는 대신 규칙을 정해 하나 만들어 버린 거야. 음수를 만들어 쓰던 그 방식 그대로. 봐, 별거 아니지? 헛것이니 상상이니 하는 이름에 겁먹었던 게 좀 억울할 정도잖아. 그런데 방금 i가 수직선 밖 위로 튀어나갔지. 그 위라는 방향, 그게 그냥 빈말이 아니야. 실수는 선 위에, i는 그 위에. 그럼 수를 아예 평면에 펼쳐놓을 수 있다는 얘기가 된다. 다음 편에서 복소평면으로 그 평면을 그려보자. 여기까지 왔으면 제일 무서운 고비는 이미 넘은 거야.