쉬운 정적분 (1) 울퉁불퉁한 땅은 잘게 잘라 잰다

운동장처럼 반듯한 네모 땅은 넓이 구하기가 쉽다. 가로에 세로를 곱하면 끝이다. 가로 50미터, 세로 30미터면 1500제곱미터. 곱셈 한 번이면 답이 나온다.

그런데 강가에 있는 땅은 사정이 다르다. 한쪽 경계가 물길을 따라 구불구불하다. 여기는 가로도 세로도 딱 떨어지지 않는다. 곱셈 한 번으로는 넓이가 안 나온다. 이런 땅의 넓이는 어떻게 재야 할까.

한 번에 못 재면 잘게 잘라 잰다

큰 덩어리를 한 번에 못 재겠으면, 잘게 잘라서 재면 된다. 이게 정적분(definite integral)이라는 어려운 이름 뒤에 숨은 생각의 전부다. 겁먹을 것 없다. 하나씩 보자.

구불구불한 땅을 세로로 얇게 여러 조각으로 잘라 보자. 한 조각의 폭을 아주 좁게 잡으면, 그 좁은 구간에서는 위쪽 경계가 거의 평평하다. 그래서 조각 하나하나는 거의 직사각형처럼 생겼다. 직사각형 넓이는? 가로 곱하기 세로, 아까 그 쉬운 곱셈이다.

이제 할 일은 뻔하다. 조각들의 넓이를 하나씩 구해서 다 더한다. 조각이 여덟 개면 직사각형 넓이 여덟 개를 더하고, 스무 개면 스무 개를 더한다. 어려운 넓이 하나를 쉬운 넓이 여러 개의 합으로 바꾼 것이다. 정적분은 바로 이 잘게 잘라 더하기다.

모눈종이로도 같은 생각

더 쉽게 느끼는 방법이 있다. 그 땅을 모눈종이 위에 올려놓는다고 해보자. 한 칸이 가로세로 1미터, 곧 1제곱미터짜리 칸이다. 땅이 온전히 덮은 칸을 세고, 반쯤 걸친 칸은 대충 반 칸으로 친다. 덮은 칸을 다 세면 그게 넓이의 어림값이다.

칸을 세는 것도, 세로로 잘라 직사각형을 더하는 것도 결국 같은 생각이다. 재기 어려운 하나를 재기 쉬운 작은 것들로 쪼개서 그 값을 모으는 것. 크고 복잡한 넓이를 작고 단순한 넓이의 합으로 바꾸는 게 핵심이다.

조금 안 맞아도 괜찮다

눈치 빠른 사람은 이미 걸리는 게 있을 것이다. 직사각형은 곡선과 딱 맞지 않는다. 위쪽 경계가 비스듬하거나 휘어 있으니, 직사각형이 살짝 삐져나오기도 하고 살짝 모자라기도 한다. 그 틈만큼 어림값이 참값과 어긋난다.

맞는 걱정이다. 하지만 해결책은 놀랄 만큼 단순하다. 조각을 더 잘게 자르면 그 틈이 작아진다. 얼마나 잘게 자르면 얼마나 정확해지는지, 끝까지 잘게 자르면 어떤 일이 벌어지는지는 다음 편에서 그림으로 본다.

정리

정적분은 거창한 게 아니다. 한 번에 재기 어려운 넓이를, 세로로 얇게 잘라 쉬운 직사각형들의 합으로 바꿔 재는 생각이다. 잘게 잘라서 더한다. 이 한 문장만 손에 쥐면 나머지는 다 여기서 자란다. 다음 편에서는 그 조각을 점점 더 잘게 잘라, 어림값이 참값에 딱 붙는 순간을 본다.