쉬운 정적분 (2) 잘게 자를수록 정확해진다

지난 편에서 구불구불한 땅을 세로로 잘라 직사각형들의 합으로 넓이를 어림했다. 그런데 직사각형은 경계와 딱 맞지 않아서 틈이 남는다고 했다. 이번 편은 그 틈 이야기다. 조각을 잘게 자를수록 틈이 어떻게 줄어드는지, 끝까지 자르면 무슨 일이 생기는지를 본다.

곡선으로 보면 틈이 눈에 잘 안 들어오니, 위쪽 경계를 곧은 비탈로 바꿔 보자. 흙이 비스듬히 쌓인 언덕을 옆에서 본 모양이라고 생각하면 된다. 원리는 곡선이든 비탈이든 똑같다.

성기게 자르면 틈이 크다

비탈 아래를 네 조각으로만 잘라 직사각형을 세워 보자. 각 직사각형의 높이는 그 조각 왼쪽 끝의 높이에 맞춘다. 그러면 비탈이 오른쪽으로 올라가는 만큼, 직사각형 위로 삼각형 모양의 틈이 남는다. 조각이 네 개뿐이라 이 삼각형이 꽤 크다. 아래 위쪽 그림이 그 모습이다.

이번엔 같은 비탈을 열 조각으로 잘라 보자. 아래쪽 그림이다. 직사각형이 얇아지면서, 위에 남는 삼각형도 그만큼 납작하고 작아진다. 조각 수를 늘릴수록 직사각형 계단이 비탈에 바짝 달라붙는다.

끝까지 자르면 틈이 사라진다

여기서 상상을 한 걸음 더 밀어 보자. 조각을 100개, 1000개, 셀 수 없이 많게 자르면 어떻게 될까. 직사각형은 종잇장처럼 얇아지고, 위에 남던 삼각형 틈은 점점 0에 가까워진다. 무한히 잘게 자른다는 이 마지막 상상 속에서, 어림값은 참값에 정확히 도달한다.

수학에서는 이렇게 끝없이 잘게 만들어 어떤 값에 다가가는 걸 극한(limit)이라고 부른다. 이름은 어렵지만 방금 한 상상 그대로다. 조각을 한없이 얇게, 개수를 한없이 많게. 정적분은 바로 이 극한까지 밀어붙인 잘게 잘라 더하기다. 조각이 몇 개뿐일 때는 어림값이지만, 무한히 잘게 자른 그 끝에서는 어림이 아니라 정확한 값이 된다.

왜 이게 대단한가

곰곰이 생각하면 신기한 일이다. 직사각형은 아무리 많아도 곡선이나 비탈과 생김새가 다르다. 그런데 그 다른 것들을 끝없이 잘게 만들어 더하면, 경계 아래의 정확한 넓이가 나온다. 다르게 생긴 쉬운 조각들의 합이, 어렵게 생긴 도형의 참값과 똑같아진다. 정적분이 힘을 갖는 지점이 여기다.

정리

조각을 잘게 자를수록 직사각형과 경계 사이의 틈이 작아지고, 끝없이 잘게 자른 극한에서 그 틈은 사라진다. 그래서 정적분은 대충 잘라 더한 어림값이 아니라, 무한히 잘게 잘랐을 때 도달하는 정확한 값이다. 다음 편에서는 이 쌓아 더하기가 뜻밖의 짝을 만나는 이야기를 한다. 쌓는 일과 변하는 빠르기가 사실 동전의 양면이라는 이야기다.