쉬운 정적분 (3) 쌓기와 변화는 서로 반대다

앞의 두 편에서 정적분은 잘게 잘라 더하는 일, 곧 쌓는 일이라고 했다. 넓이를 얇은 조각으로 쌓았다. 이번 편은 이 쌓기가 아주 친한 짝을 하나 두고 있다는 이야기다. 그 짝은 변화의 빠르기다. 둘은 서로를 되돌리는 반대 작업이다. 말로만 들으면 아리송하니, 저금통으로 보자.

저금통에 쌓이는 돈

날마다 저금통에 돈을 넣는다. 어떤 날은 천 원, 어떤 날은 이천 원, 또 어떤 날은 오백 원. 그날그날 넣는 돈은 들쭉날쭉하다. 이 그날 넣는 돈을 하루치라고 부르자.

통에 쌓인 총액은 그때까지 넣은 하루치를 다 더한 값이다. 3일째 총액은 1일치 더하기 2일치 더하기 3일치다. 어디서 본 그림 아닌가. 앞 편에서 직사각형을 더해 넓이를 쌓던 것과 똑같다. 하루치를 날마다 쌓아 총액을 만드는 게 바로 쌓기, 곧 적분이다.

거꾸로 읽으면 변화의 빠르기

이제 반대로 읽어 보자. 오늘 총액이 어제보다 얼마나 늘었지? 딱 오늘 넣은 하루치만큼 늘었다. 4일째 총액에서 3일째 총액을 빼면 4일치가 나온다. 위 총액 그림에서 계단이 하루 사이에 뛰어오른 높이가 그날의 하루치와 정확히 같다.

이게 핵심이다. 쌓인 총액이 늘어나는 빠르기가 곧 그날의 하루치다. 무언가가 얼마나 빠르게 변하는지를 재는 걸 수학에서는 미분(differentiation)이라고 한다. 총액을 미분하면 하루치가 나온다. 반대로 하루치를 날마다 쌓으면 총액이 나온다. 쌓기와 변화의 빠르기, 곧 적분과 미분은 이렇게 서로를 되돌린다. 하나가 다른 하나를 풀어 준다.

자동차로 다시 보기

같은 이야기를 자동차로 옮겨도 똑같다. 자동차의 속도는 저금통의 하루치에 해당한다. 1시간에 40킬로미터로 달리면 그 한 시간 동안 40킬로미터를 간다. 시간마다 속도가 달라져도, 각 시간에 간 거리를 다 더하면 총 이동 거리가 된다. 속도를 시간에 걸쳐 쌓은 것이 이동 거리다. 이게 적분이다.

거꾸로, 이동 거리가 늘어나는 빠르기가 바로 그 순간의 속도다. 이동 거리를 미분하면 속도가 나온다. 저금통에서 총액과 하루치의 관계가, 자동차에서 이동 거리와 속도의 관계로 그대로 옮겨졌다. 쌓인 것과 그 쌓이는 빠르기, 이 한 쌍이 세상 곳곳에서 같은 모양으로 되풀이된다.

정리: 세 편을 한 줄로

세 편을 한 줄로 묶어 보자. 정적분은 한 번에 못 재는 것을 잘게 잘라 쉬운 조각으로 더하는 일이고(1편), 그 조각을 끝없이 잘게 자르면 어림이 아니라 정확한 값이 되며(2편), 이렇게 쌓는 일은 변화의 빠르기를 재는 미분과 서로를 되돌리는 짝이다(3편). 잘게 잘라 더한다. 이 한 생각에서 넓이도, 쌓인 총액도, 이동 거리도 모두 나온다.

어려워 보이는 기호 뒤에는 늘 이렇게 쉬운 그림 하나가 숨어 있다. 정적분도 그랬다.