쉬운 부정적분 (1) 미분을 거꾸로 되짚기

부정적분. 이 네 글자에 벌써 겁부터 나는 사람 있을 거다. 적분도 벅찬데 앞에 부정까지 붙었으니까. 근데 괜찮아. 네 머리가 나빠서가 아니라, 이게 새 개념인 척하는 게 문제였어. 사실 부정적분(indefinite integral)은 네가 이미 아는 걸 거꾸로 돌리는 게 전부야. 외울 공식 없어. 필요한 건 딱 한 문장이다.

부정적분은 미분을 거꾸로 되짚는 일이다.

이게 전부다. 오늘은 이거 하나만 가져가면 돼. 쉬운 정적분 시리즈에서 넓이를 잘게 잘라 더하는 이야기를 했지. 그 마지막 편에서 쌓는 일(적분)하고 변화의 빠르기(미분)가 서로 반대라는 것도 봤고. 이번엔 그 반대 방향을 정면으로 밟아본다.

근데 부정적분, 이름부터 사람 기죽이지? 한자라서 그래. 뜯어보면 별거 아니야. 부정적분(不定積分), 여기서 부는 아닐 부(不), 정은 정할 정(定)이야. 둘을 붙이면 정해지지 않았다는 뜻이지. 뒤의 적분(積分)은 잘게 나눠 쌓기고. 그러니까 통째로 읽으면 정해지지 않은 적분이야. 자, 봐봐. 정적분의 정(定)은 끝이 딱 정해졌다는 뜻이었잖아. 부정적분은 그 반대로, 답이 하나로 안 정해지는 되짚기야. 왜 안 정해지냐고? 그건 2편에서 밟아줄게. 근데 이름만 봐도 성격이 벌써 드러나지. 이름이 이미 다 말해주고 있어.

동생: “미분하면 거리에서 속도가 나온다며?”

누나: “응. 부정적분은 그 반대야. 속도를 보고 원래 거리를 되찾는 거.”

동생: “곱셈을 나눗셈이 되돌리는 것처럼?”

누나: “정확해. 미분을 부정적분이 되돌려.”

미분이 하는 일부터

자, 되짚기부터 하려면 순서가 있어. 뭘 거꾸로 돌릴 건지부터 알아야지. 그러니까 미분이 원래 뭘 하는 놈인지부터 짚고 가자. 미분(differentiation)은 변화의 빠르기를 재는 일이야. 말 어렵게 하지 말고 예로 보자. 자동차 이동 거리를 미분하면 속도가 나와. 1시간에 60킬로미터씩 꾸준히 달렸다고 쳐. 그럼 이동 거리는 시간마다 60씩 늘어나겠지? 그 늘어나는 빠르기가 바로 속도 60이야. 거리에서 속도를 뽑아내는 것, 이게 미분이 하는 일이다.

자동차가 안 와닿으면 저금통으로 가자. 똑같은 이야기야. 통에 쌓인 총액을 미분하면 그날 넣은 하루치가 나와. 왜냐고? 총액이 하루에 얼마씩 느는지가 곧 그날 넣은 하루치잖아. 봐, 어렵지 않지. 미분이 정확히 뭔지, 순간의 빠르기랑 기울기로 더 파고든 이야기는 쉬운 미분 시리즈에 있어. 여기선 이 정도만 알면 충분해.

부정적분은 그 화살표를 거꾸로

자, 이제 방향만 뒤집으면 돼. 부정적분은 이 화살표를 정확히 반대로 돌리는 거야. 속도에서 거리로, 하루치에서 총액으로 되짚어 올라가는 거지. 미분이 원래 함수에서 변화의 빠르기를 뽑아내는 일이었다면, 부정적분은 거꾸로 그 빠르기를 보고 원래 함수를 되찾는 일이야. 방향만 반대, 하는 짓은 짝꿍이지.

그림 봤으면 말로 다시 정리하자. 부정적분은 결국 이 질문 하나야. 미분해서 이게 나오는 원래 함수, 걔가 뭐였지? 자 해보자. 속도가 60이야. 그럼 미분해서 60이 되는 거리 함수를 찾으면 돼. 답은 60 곱하기 시간, 곧 시속 60으로 t시간을 달린 거리지. 못 믿겠으면 직접 확인해봐. 이 거리를 미분하면 시간마다 60씩 느니까 속도 60, 딱 맞잖아. 이렇게 미분 결과를 거꾸로 보고 원본을 되찾는 것, 그게 부정적분이야.

되짚기는 곱셈과 나눗셈 같은 사이

되짚기라는 말이 어렵게 느껴질 수 있는데, 사실 넌 이미 이걸 초등학교 때부터 해왔어. 곱셈이랑 나눗셈. 3 곱하기 4는 12, 거꾸로 12 나누기 4는 3. 나눗셈이 곱셈을 되짚잖아. 미분이랑 부정적분도 딱 이 사이야. 한쪽이 뽑아낸 걸 다른 쪽이 도로 되돌려 놓는 거지. 새로운 거 하나도 없어. 그치?

그래서 부정적분 잘하는 법도 별거 없어. 외울 표 같은 거 만들 필요 없어. 그냥 미분을 거꾸로 떠올리면 돼. 미분해서 이게 나오려면 원래 뭐였을까, 이거 하나만 되물으면 되는 거야. 미분을 이해한 만큼 부정적분은 저절로 따라와. 이게 왜 이렇게 되는지만 알면 공식은 손에 남거든.

정리

오늘 딱 하나만. 부정적분은 미분을 거꾸로 되짚어 원래 함수를 찾는 일이다. 속도를 보고 거리를, 하루치를 보고 총액을 되찾는 거지. 곱셈을 나눗셈이 되돌리듯, 미분을 부정적분이 되돌린다. 봐, 겁먹었던 게 무색하지? 새로 외운 것도 없이 여기까지 왔잖아. 그런데 이 되짚기에는 곱셈·나눗셈엔 없는 묘한 구석이 하나 있어. 답이 하나로 딱 안 떨어진다는 거야. 왜 그러냐고? 그게 궁금해졌으면 이미 절반 넘게 온 거야. 다음 편에서 밟아보자.