쉬운 부정적분 (2) 왜 +C가 따라붙나

+C. 이거 하나 때문에 부정적분에서 손 놓은 사람 은근 많다. 답 다 구해놓고 왜 갑자기 정체불명의 C를 붙이래, 하면서. 근데 겁부터 풀고 가자. C는 어디서 뚝 떨어진 기호가 아니야. 붙는 이유가 분명히 있어. 그 이유만 알면 억울할 만큼 쉬워. 오늘 가져갈 문장은 이거 하나다.

미분은 출발점을 지운다. 그래서 되짚으면 C가 붙는다.

지난 편에서 부정적분은 미분을 거꾸로 되짚는 일이라고 했지. 그리고 되짚기에 묘한 구석이 하나 있다고 예고했고. 답이 하나로 딱 안 떨어진다는 거. 이번 편이 바로 그 이야기야. 부정적분이라는 이름의 부정, 곧 정해지지 않았다는 말이 대체 어디서 오는 건지 같이 밟아보자.

동생: “하루치가 천 원인 건 알겠어. 근데 원래 통에 얼마 있었는지는 어떻게 알아?”

누나: “그건 몰라. 미분이 그 처음 값을 지워버렸거든.”

동생: “그럼 답이 하나가 아니네?”

누나: “그래서 +C를 붙여. 정해지지 않은 그 출발점만큼.”

미분은 출발점을 지운다

자, 핵심은 미분이 뭔가를 슬쩍 버린다는 데 있어. 백지에서 시작하자. 저금통 두 개를 놓고 봐. 하나는 처음부터 만 원이 들어 있었어. 다른 하나는 텅 비어 있었고. 오늘부터 두 통에 똑같이 매일 천 원씩 넣기로 해.

두 통의 총액은 언제 봐도 만 원 차이야. 처음에 만 원 차이로 출발했으니 계속 만 원 차이가 나겠지. 근데 여기서 봐봐. 하루치, 곧 매일 느는 빠르기는? 둘 다 천 원으로 똑같아. 총액을 미분하면 하루치가 나온다고 했잖아. 두 통의 하루치가 같으니 미분한 결과도 똑같아. 무슨 말이냐면, 처음에 얼마가 들어 있었는지는 미분하는 순간 흔적도 없이 날아간다는 거야.

이게 바로 미분이 버리는 거야. 변화의 빠르기만 딱 남기고, 출발점, 곧 처음 값은 지워버려. 기억해. 미분은 출발점을 안 챙긴다.

그래서 되짚으면 출발점을 알 수 없다

이제 거꾸로 되짚어 보자. 손에 쥔 건 하루치가 천 원이라는 것뿐이야. 이걸로 총액을 되살려 보려는 거지. 근데 여기서 딱 막혀. 원래 통에 만 원이 있었는지, 0원이었는지, 오천 원이었는지, 하루치만 봐서는 도무지 알 수가 없어. 왜? 미분이 그 정보를 이미 지워버렸으니까. 없는 걸 무슨 수로 되살려. 여기서 많이들 답답해하는데, 못 알아내는 게 당연한 거야. 네가 못 푸는 게 아니라 애초에 정보가 사라진 거니까.

그래서 부정적분의 답은 하나로 못 박히질 않아. 매일 천 원씩 늘어난다는 모양은 딱 정해져. 근데 그 전체가 위아래로 얼마나 떠 있는지는 열려 있는 거지. 이 정해지지 않은 출발점, 이걸 상수 C라고 적는 거야. 그러니까 답이 함수 하나가 아니라, 매일 천 원씩 느는 모양에 C를 얹은, 위아래로 자유로운 함수 무리가 되는 거지. C가 갑자기 튀어나온 게 아니라, 우리가 모르는 그 출발점 자리를 채우는 이름표인 거야.

부정적분(indefinite integral), 그 이름의 부정이 바로 이 뜻이야. 답이 하나로 안 정해지고 C만큼 열려 있다는 것. 봐, 이름이 진작부터 다 알려주고 있었잖아.

그림으로 보면 나란한 선들

말로만 하면 안 잡히지? 그림으로 보면 단번에 온다. 세 사람이 똑같은 속도로 걷는다고 하자. 출발점만 서로 달라. 이들의 위치를 시간에 따라 그리면, 기울기가 똑같은 나란한 선 셋이 나와.

자 따라와 봐. 기울기가 같다는 건 속도가 같다는 뜻이야. 그리고 속도는 위치를 미분한 값이었지. 그러니 이 셋은 미분하면 모두 똑같은 속도가 돼. 다시 말해 미분의 눈에는 이 셋이 구별이 안 되는 거야. 다 똑같아 보이는 거지. 그럼 거꾸로 부정적분으로 되짚으면? 이 셋 전부가 답이야. 그리고 그 나란한 선들의 위아래 간격, 그게 바로 C다. 봐, C가 눈에 딱 보이지.

정리

오늘 딱 하나만 남기자. 미분은 변화의 빠르기만 남기고 출발점을 지운다. 그래서 거꾸로 되짚는 부정적분은 그 출발점을 되살릴 수가 없고, 답은 원래 모양에 정해지지 않은 상수 C를 얹은 함수 무리가 되는 거야. 이름의 부정이 바로 이 열림을 가리키는 거지. 봐, C가 정체불명의 기호가 아니라 지워진 출발점의 빈자리였을 뿐이잖아. 별거 아니지? 그런데 여기서 반전이 하나 있어. 이 C 때문에 답이 흐릿해 보여도, 정작 실제 넓이나 쌓인 양을 구할 땐 C가 감쪽같이 사라져. 어떻게 그런 마법이 벌어지는지는 다음 편에서 보자. 여기까지 왔으면 이미 다 온 거나 마찬가지야.