쉬운 부정적분 (3) 부정적분으로 넓이를 구한다

이번 편은 부정적분 시리즈의 마지막이자, 솔직히 제일 짜릿한 편이야. 겁낼 거 하나도 없어. 오히려 지금까지 골치였던 게 확 풀리는 편이거든. 오늘 가져갈 문장은 이거 하나다.

넓이는 잘게 자를 필요 없이, 원래 함수의 양 끝값만 빼면 나온다.

지난 편에서 부정적분의 답에는 정해지지 않은 상수 C가 따라붙는다고 했지. 답이 흐릿해 보이던 그 C, 근데 신기하게도 실제로 넓이나 쌓인 양을 구할 땐 감쪽같이 사라져. 이번 편에서 그 마법을 직접 볼 거야. 부정적분이 어떻게 정적분(definite integral)을, 곧 잘게 잘라 더해야 했던 그 넓이를 단번에 내주는지.

동생: “4일부터 7일까지 넣은 돈, 하루치를 하나하나 다 더해야 해?”

누나: “아니. 7일 총액에서 3일 총액을 빼면 끝이야.”

동생: “어? 그럼 그 +C는 어떻게 되고?”

누나: “양쪽에 똑같이 있어서 빼면 사라져. 그래서 정적분엔 C가 안 걸려.”

잘게 자르지 않고 구하는 길

기억을 되살려 보자. 정적분 시리즈에서 넓이를 구하려고 얇은 조각으로 잘게 잘라서 더했잖아. 정확한 값을 얻으려면 무한히 잘게 잘라야 했고. 솔직히 손 많이 가는 일이었지. 근데 부정적분을 알면 이 고생을 통째로 건너뛸 수 있어. 어떻게? 봐봐.

핵심은 이거 하나야. 쌓인 양을 알려주는 원래 함수(원시함수)를 하나 찾아두기만 하면, 어떤 구간에 쌓인 양은 그 함수의 양 끝 값을 빼기만 하면 끝이야. 더하기 수백 번을 빼기 한 번으로 바꾸는 거지.

저금통으로 보기

백문이 불여일견, 저금통으로 직접 해보자. 통에 쌓인 총액이 바로 원래 함수야. 자, 4일째부터 7일째까지 새로 넣은 돈이 얼마인지 구해보자. 하루치를 4일치, 5일치, 6일치, 7일치 일일이 다 더해도 돼(이게 잘게 잘라 더하기지). 근데 더 빠른 길이 있어. 7일째까지의 총액에서 3일째까지의 총액을 빼면 그만이야.

자 계산해보자. 7일째 총액이 8300원, 3일째 총액이 3000원이야. 그럼 그 사이에 넣은 돈은? 8300 빼기 3000, 곧 5300원이지. 봐, 하루치를 하나하나 더하지도 않았는데 양 끝 총액의 차이 하나로 단번에 나왔어. 이게 바로 부정적분으로 정적분을 구하는 방법이야. 잘게 잘라 더할 걸, 원래 함수의 끝값 빼기로 통째로 바꿔치기한 거지.

C가 사라지는 이유

자, 이제 아까 미뤄뒀던 질문. 지난 편의 그 C는 대체 어디로 갔을까? 같이 따져보자. 총액 함수에는 처음 값에 해당하는 C가 붙어 있었지. 그런데 우리가 방금 뭘 했냐면, 두 시점의 총액을 뺐어. 7일째 총액에도 C가 들어 있고, 3일째 총액에도 똑같은 그 C가 들어 있어. 자 빼봐. 같은 C끼리 빼면? 서로 상쇄돼서 사라져. 흔적도 없이.

그래서 넓이나 쌓인 양처럼 두 끝값의 차이로 구하는 정적분에서는 C가 아무런 영향을 못 줘. 부정적분의 답이 C만큼 위아래로 열려 있어도 상관없어. 그 열림이 빼기 한 번에 깔끔히 지워지니까. 봐, 지난 편에서 그렇게 찜찜하던 C가 정작 실전에선 걸림돌도 아니었던 거야. 괜히 겁먹었지.

정리: 두 시리즈를 한 줄로

자, 세 편을 쭉 이어보자. 부정적분은 미분을 거꾸로 되짚어 원래 함수를 찾는 일이고(1편), 그 답에는 출발점을 몰라서 생기는 상수 C가 붙고(2편), 그 원래 함수의 양 끝값을 빼면 정적분이 단번에 나오는데 이때 C는 상쇄돼 사라진다(3편). 세 편이 이렇게 한 줄로 꿰지지?

이제 정적분 시리즈랑 이 시리즈를 한 줄로 묶어보자. 정적분은 잘게 잘라 더한 넓이고, 부정적분은 미분을 되짚은 원래 함수인데, 이 둘이 양 끝값 빼기로 딱 이어져. 잘게 잘라 더할 그 고생을 되짚기 한 번으로 건너뛰게 해주는 다리, 그게 바로 부정적분이야. 봐, 겁먹고 시작했던 게 억울할 정도지? 여기까지 왔으면 넌 이미 다 이해한 거야.