쉬운 벡터 (2) 벡터 더하기, 화살표를 이어 붙이기

지난 편에서 벡터는 크기와 방향을 가진 화살표라고 했어. 기억 안 나도 괜찮아. 화살표 하나, 그게 벡터였다. 오늘 출발엔 그거면 충분해. 그런데 화살표 두 개를 더하면 재밌는 일이 벌어져. 3 더하기 4가 7이 아니라 5가 되기도 하거든. 어떻게 그러냐고? 벡터의 덧셈은 우리가 아는 숫자 더하기랑 조금 다르게 움직이니까. 오늘 가져갈 건 딱 하나. 벡터 더하기는 화살표를 이어 붙이는 거다. 이게 전부야. 겁먹지 말고 가자.

동생: “동쪽으로 3칸 가고, 거기서 북쪽으로 4칸 가면, 결국 얼마나 간 거야?”

누나: “7칸 아니야. 화살표를 이어 붙여서, 출발점에서 도착점까지 바로 그어 봐.”

동생: “그으면?”

누나: “그 대각선이 5칸이야. 이렇게 이어 붙이는 게 벡터 덧셈이야.”

화살표를 꼬리에 머리로 이어 붙인다

벡터를 더하는 법은 그림 하나로 끝나. 진짜야. 첫 화살표의 끝(머리)에 둘째 화살표의 시작(꼬리)을 갖다 붙여. 그리고 맨 처음 출발점에서 맨 마지막 도착점까지 새 화살표를 하나 그어. 그 화살표가 두 벡터의 합이야. 왜 이렇게 하냐고? 먼저 동쪽으로 갔다가 이어서 북쪽으로 갔으면, 결국 내가 옮겨온 자리는 처음 출발점에서 마지막 도착점까지잖아. 그 옮긴 자리를 화살표 하나로 그은 것뿐이야.

동쪽 3칸 화살표 끝에 북쪽 4칸 화살표를 붙여 봐. 출발점에서 도착점까지의 대각선이 5칸이야. 3, 4, 5로 딱 떨어지는 건 우연이 아니라 직각삼각형이라서 그래. 여기서 어? 왜 7이 아니지 하고 많이들 걸리는데, 별거 아니야. 동쪽 3, 북쪽 4는 서로 직각으로 갈라진 방향이잖아. 그러니 곧장 잇는 길은 두 길을 합친 7이 아니라 질러가는 빗변이지. 가로 3, 세로 4인 직각삼각형의 빗변이 5인 거랑 똑같아.

숫자로는 짝끼리 더한다

그림이 손에 익으면 계산은 더 쉬워. 동쪽으로 간 것끼리, 북쪽으로 간 것끼리 따로 더하면 끝이야. (3, 0)에 (0, 4)를 더하면 (3, 4)지. 성분끼리, 곧 첫 숫자는 첫 숫자끼리 둘째 숫자는 둘째 숫자끼리 더하는 거야. 왜 따로 더하냐고? 동쪽으로 간 거랑 북쪽으로 간 건 서로 안 섞이니까. 오른쪽 몫은 오른쪽끼리, 위쪽 몫은 위쪽끼리 모으면 되는 거지.

식으로 적으면 (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)야. 겁먹지 마, 방금 말한 걸 기호로 옮긴 것뿐이니까. 오른쪽으로 간 양을 다 합치고, 위로 간 양을 다 합친다. 이게 그림으로 화살표를 이어 붙인 결과랑 정확히 같은 값이 나와. 그림은 뜻을 보여주고, 숫자는 빠르게 계산해주는 거지. 외우지 마, 왜 짝끼리 더하는지만 알면 저절로 남아.

상수배: 늘이고 뒤집기

더하기 말고 딱 하나만 더 알면 돼. 벡터에 그냥 숫자(스칼라)를 곱하는 거야. 2를 곱하면? 방향은 그대로 두고 길이만 2배로 늘여. 절반(0.5)을 곱하면 반으로 줄고. −1을 곱하면? 길이는 그대로인데 방향이 정반대로 홱 뒤집힌다. 왜 뒤집히냐고? 마이너스가 반대 방향이라는 뜻이니까. 온도가 영하로 내려가듯, 방향에서도 마이너스는 반대쪽이야.

숫자로는 이것도 간단해. (x, y)에 k를 곱하면 (kx, ky)야. 성분마다 똑같이 곱하면 끝. 그럼 빼기는 어떻게 하냐. a에서 b를 빼는 건, a에 b의 반대 방향(−b)을 더하는 거야. 뒤집어서 더하면 그게 빼기다. 그러니 새로 외울 게 없지? 결국 벡터로 하는 일은 이어 붙여 더하기랑 늘이고 뒤집기, 딱 이 둘뿐이야.

말로만 하면 안 믿기지? 아래 슬라이더로 직접 더해 봐. 파란 화살표는 고정, 빨간 화살표를 좌우·상하로 움직이면 둘을 이어 붙인 합(검정)이랑 그 길이가 실시간으로 바뀐다.

실생활: 강 건너기와 두 손의 힘

이게 어디 쓰이냐고? 강 건널 때를 봐. 배가 강 건너편을 똑바로 겨눠 저어도, 강물이 옆에서 밀면 배는 비스듬히 떠내려가잖아. 실제 배가 가는 길은 배가 젓는 벡터랑 강물이 미는 벡터를 이어 붙인 합이야. 그래서 노 좀 저어 본 뱃사공은 물살을 미리 감안해서 상류 쪽으로 비스듬히 겨눈다. 방금 배운 화살표 잇기, 그대로지?

두 사람이 같은 상자를 서로 다른 방향으로 밀 때도 똑같아. 상자는 두 힘의 화살표를 이어 붙인 합의 방향으로 움직여. 한 힘만도, 다른 힘만도 아니고, 둘을 더한 쪽으로. 세상의 힘이랑 움직임은 대개 이렇게 여러 벡터가 더해진 결과야.

예시 문제

자, 성분끼리 더하기랑 3-4-5, 방금 배운 거 그대로 손에 붙여보자. 겁먹지 마, 화살표 이어 붙이는 거였잖아. 두 문제만 같이 하자.

문제 1. 벡터 (2, 3)과 (5, 1)을 더하면 뭐가 될까? 성분끼리 더하는 걸로 구해봐.

직접 한번 해보고 내려와. 풀이 간다.

풀이. 첫 숫자끼리, 둘째 숫자끼리 따로 더하면 돼. 오른쪽 성분은 2 더하기 5, 곧 7. 위쪽 성분은 3 더하기 1, 곧 4. 그래서 합은 (7, 4)야. 오른쪽으로 간 건 오른쪽끼리, 위로 간 건 위끼리 모은 거지. 서로 안 섞이니까 따로 더한 거야. 답은 (7, 4).

문제 2. 동쪽으로 6칸 간 다음 북쪽으로 8칸 갔어. 출발점에서 도착점까지 곧장 그은 화살표는 몇 칸일까? 6 더하기 8 해서 14칸일 것 같지? 진짜 그런지 확인해봐.

지난 편 3-4-5 기억나지? 그거 그대로야. 풀이 간다.

풀이. 먼저 두 이동을 벡터로 적어. 동쪽 6칸은 (6, 0), 북쪽 8칸은 (0, 8)이야. 이어 붙이면 성분끼리 더해서 (6, 8)이지. 이제 이 화살표 길이가 곧장 잇는 거리야. 동쪽 6이랑 북쪽 8은 서로 직각이니까, 가로 6 세로 8인 직각삼각형의 빗변이 되거든. 6 곱하기 6은 36, 8 곱하기 8은 64, 더하면 100인데, 곱해서 100이 되는 길이는 10이야. 그러니 곧장 잇는 길은 6 더하기 8인 14가 아니라 10칸이지. 지난 편 3-4-5를 두 배로 키운 6-8-10이야. 직각으로 갈라진 길은 곧장 질러가는 빗변이라, 둘을 그냥 더한 값보다 짧은 거고. 답은 10칸.

정리

자 정리하자. 벡터 덧셈은 화살표를 꼬리에 머리로 이어 붙이는 일이고, 숫자로는 성분끼리 더하는 일이야. 상수배는 길이를 늘이거나 뒤집는 일이고, 빼기는 뒤집어 더하는 일이지. 이어 붙여 더하기랑 늘이고 뒤집기, 이 둘이 벡터가 하는 일의 거의 전부다. 봐, 겁냈던 것치고 너무 단순하지? 그런데 두 화살표가 얼마나 같은 방향을 보는지 재고 싶을 때가 있어. 그건 더하기로는 안 돼. 다음 편에서 내적을 만나자. 여기까지 왔으면 절반은 온 거야.